5️⃣ e. Odróżnianie fali poprzecznej od fali podłużnej oraz przykłady

Co to jest fala?

Fala to rozchodzące się zaburzenie, które przenosi energię, ale nie przenosi materii.

Cząsteczki ośrodka drgają wokół swoich położeń równowagi, a energia rozchodzi się dalej.

Przykład: gdy wrzucisz kamień do wody, widzisz kręgi — to fala powierzchniowa, która niesie energię od miejsca uderzenia, ale cząsteczki wody tylko drgają góra–dół i wracają na miejsce.

—

Fala poprzeczna

W fali poprzecznej cząsteczki ośrodka drgają prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali.

Wyobraź sobie linę przywiązaną do ściany — jeśli poruszysz jej końcem w górę i w dół, powstaną grzbiety i doliny, które biegną wzdłuż liny, ale poszczególne punkty poruszają się pionowo.

Kierunki:

* drgania — góra–dół,

* fala — wzdłuż liny.

Przykłady fal poprzecznych:

* fale na powierzchni wody,

* fale na linie lub sprężynie rozciągniętej w poziomie,

* fale elektromagnetyczne (np. światło, fale radiowe, mikrofale) — drgania pól elektrycznego i magnetycznego są poprzeczne do kierunku rozchodzenia się fali.

—

Fala podłużna

W fali podłużnej cząsteczki drgają równolegle do kierunku rozchodzenia się fali.

Możesz to zobaczyć na sprężynie – jeśli ją ścisniesz i puścisz, powstaną zagęszczenia i rozrzedzenia, które biegną wzdłuż sprężyny.

Kierunki:

* drgania — wzdłuż kierunku fali,

* fala — wzdłuż sprężyny.

Przykłady fal podłużnych:

* fala dźwiękowa w powietrzu,

* drgania w ciałach stałych (częściowo podłużne),

* fala w gazie lub cieczy (np. fala uderzeniowa).

—

Porównanie fal

—

Najważniejsze pojęcie:

Fale poprzeczne mogą istnieć w ośrodkach stałych (i w świetle),

fale podłużne — w ośrodkach sprężystych (np. w powietrzu, wodzie).

—

6️⃣ f. Opis zmiany energii mechanicznej podczas ruchu wahadła matematycznego

Co to jest wahadło matematyczne?

To punktowa masa (kulka) zawieszona na cienkiej, nierozciągliwej nici, która wykonuje drgania w płaszczyźnie pionowej.

Kiedy wychylisz kulkę z położenia równowagi i puścisz, zaczyna się ona poruszać w przód i w tył — to drgania wahadła.

—

Energia mechaniczna wahadła

Energia mechaniczna to suma dwóch form energii:

$$E_\text{mech} = E_\text{p} + E_\text{k}$$

gdzie:

$E_\text{p}$ — energia potencjalna (związana z wysokością),

$E_\text{k}$ — energia kinetyczna (związana z ruchem).

—

Zmiany energii podczas ruchu

• Wychylenie maksymalne (skrajne):

* Wahadło zatrzymuje się na chwilę.

* $E_\text{k} = 0$, $E_\text{p}$ — największa.

* Cała energia mechaniczna to energia potencjalna.

• Położenie równowagi (środkowe):

* Wahadło ma największą prędkość.

* $E_\text{k}$ — największa, $E_\text{p}$ — najmniejsza.

* Cała energia mechaniczna to energia kinetyczna.

• Droga w dół i w górę:

* Energia potencjalna zamienia się w kinetyczną i odwrotnie.

* Całkowita energia mechaniczna (bez tarcia) pozostaje stała:

$$E_\text{mech} = E_\text{k} + E_\text{p} = \text{const.}$$

—

Wzory pomocnicze

* Energia potencjalna: $E_\text{p} = m g h$

* Energia kinetyczna: $E_\text{k} = \frac{1}{2} m v^2$

W trakcie ruchu:

$$m g h_\text{max} = \frac{1}{2} m v_\text{max}^2.$$

Przykład:

Jeśli kulka wahadła (0,1 kg) podnosi się o $0,05$ m, to:

$E_\text{p} = 0{,}1\cdot9{,}81\cdot0{,}05 = 0{,}049$ J.

Gdy spadnie do położenia równowagi, $E_\text{k} = 0{,}049$ J — czyli energia tylko zmienia formę, ale nie znika.

—

Uwaga praktyczna

W rzeczywistości występują straty energii (tarcie powietrza, opór nici). Wtedy energia mechaniczna powoli maleje, a drgania stopniowo zanikają.

—

7️⃣ g. Zastosowanie wzoru na okres drgań wahadła matematycznego (małe wychylenie)

Co to jest okres drgań?

Okres drgań $T$ to czas jednego pełnego cyklu: od jednego wychylenia maksymalnego, przez przejście przez środek, do powrotu w to samo miejsce.

—

Wzór na okres wahadła matematycznego

Dla małych wychyleń (do ok. 10°) okres drgań zależy tylko od długości nici i przyspieszenia grawitacyjnego:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

gdzie:

$l$ – długość wahadła [m],

$g$ – przyspieszenie ziemskie ($9{,}81$ m/s²),

$T$ – okres [s].

—

Znaczenie wzoru

* Okres nie zależy od masy kulki.

* Okres nie zależy od amplitudy (dla małych kątów).

* Im dłuższe wahadło, tym wolniejsze drgania (większy okres).

* Im większe g, tym szybsze drgania (mniejszy okres).

—

Przykład obliczeniowy

Wahadło o długości $l = 1$ m.

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{1}{9{,}81}} \approx 2{,}006\ \text{s}.$$

Czyli jedno pełne wahnięcie trwa ok. 2 sekundy.

—

Inny przykład

Jeśli skrócisz długość do $0{,}25$ m:

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{0{,}25}{9{,}81}} \approx 1{,}00\ \text{s}.$$

Takie wahadło (dł. ok. 25 cm) ma okres 1 s — czyli 2 drgania na sekundę.

Dlatego wahadła w zegarach często mają długości dobrane tak, aby każde drganie trwało 1 sekundę.

—

Dodatkowe obserwacje

* W zadaniach konkursowych często prosi się o porównanie okresów dwóch wahadeł:

$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}.$$

* Jeśli długość wzrośnie 4-krotnie, okres wzrośnie 2-krotnie.

—

Przykład:

Wahadło 1: $l_1=0{,}4$ m,

Wahadło 2: $l_2=0{,}1$ m.

$$\frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{0{,}4}{0{,}1}} = 2.$$

Czyli dłuższe wahadło drga dwa razy wolniej.

—

Najważniejsze wnioski

• Wahadło to przykład ruchu drgającego okresowego.
• Dla małych wychyleń: $T=2\pi\sqrt{l/g}$.
• Okres zależy wyłącznie od długości i pola grawitacyjnego, a nie od masy.
• Energia mechaniczna przemienia się cyklicznie między $E_p$ a $E_k$.

—

—

🧩 Zestaw zadań: Fale i wahadło matematyczne

—

🔹 Część A — PRAWDA / FAŁSZ (10 zadań)

• W fali poprzecznej cząsteczki ośrodka drgają równolegle do kierunku rozchodzenia się fali.

(P/F)

• Fala dźwiękowa w powietrzu jest przykładem fali podłużnej.

(P/F)

• Światło jest falą poprzeczną.

(P/F)

• W fali podłużnej występują naprzemiennie zagęszczenia i rozrzedzenia ośrodka.

(P/F)

• Energia mechaniczna wahadła (bez tarcia) pozostaje stała podczas drgań.

(P/F)

• W położeniu maksymalnego wychylenia wahadła energia kinetyczna jest największa.

(P/F)

• W położeniu równowagi wahadła energia potencjalna jest największa.

(P/F)

• Okres drgań wahadła zależy od jego masy.

(P/F)

• Okres drgań wahadła jest proporcjonalny do pierwiastka z jego długości.

(P/F)

• Dłuższe wahadło wykonuje drgania wolniejsze (ma większy okres).

(P/F)

—

🔹 Część B — ZADANIA OBLICZENIOWE (10 zadań)

—

1️⃣

Wahadło ma długość $l = 0{,}64\ \text{m}$.

Oblicz okres jego drgań.

Użyj $g = 9{,}81\ \text{m/s}^2$.

$$T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$$

—

2️⃣

Dla wahadła o długości $l = 1\ \text{m}$ oblicz, ile drgań wykona w czasie 1 minuty.

—

3️⃣

Dwa wahadła mają długości $l_1 = 0{,}25\ \text{m}$ i $l_2 = 1{,}00\ \text{m}$.

Oblicz stosunek ich okresów $\frac{T_2}{T_1}$.

—

4️⃣

Wahadło ma długość $l = 0{,}9\ \text{m}$.

Jak zmieni się okres, jeśli długość skrócisz do $0{,}1\ \text{m}$?

Podaj, ile razy okres się zmniejszy.

—

5️⃣

Kulka o masie $0{,}05\ \text{kg}$ wychyla się o wysokość $h = 0{,}10\ \text{m}$.

Oblicz energię potencjalną w najwyższym punkcie.

$$E_p = m g h$$

—

6️⃣

Dla tej samej kulki ($m=0{,}05\ \text{kg}$) oblicz jej prędkość w położeniu równowagi, przy założeniu, że cała energia potencjalna zamieniła się w kinetyczną:

$$E_p = E_k$$

$$m g h = \frac{1}{2} m v^2$$

—

7️⃣

Wahadło o długości $l = 0{,}4\ \text{m}$ ma okres $T$.

Jaką długość musi mieć drugie wahadło, aby jego okres był dwukrotnie większy?

$$T_2 = 2T_1$$

—

8️⃣

Na powierzchni wody rozchodzi się fala o długości $0{,}4\ \text{m}$ i okresie $0{,}2\ \text{s}$.

Oblicz prędkość rozchodzenia się fali.

$$v = \frac{\lambda}{T}$$

—

9️⃣

Fala dźwiękowa ma prędkość $v = 340\ \text{m/s}$ i długość fali $\lambda = 0{,}68\ \text{m}$.

Oblicz częstotliwość fali.

$$f = \frac{v}{\lambda}$$

—

🔟

W powietrzu fala ma częstotliwość $f = 440\ \text{Hz}$.

Oblicz długość fali, jeśli prędkość dźwięku wynosi $v = 340\ \text{m/s}$.

$$\lambda = \frac{v}{f}$$

—

📘 Zestawienie użytych wzorów

—