Niepewność pomiarowa

Lekcja 11 — Niepewność pomiarowa

1. Czym jest niepewność pomiarowa?

Niepewność pomiarowa to przybliżenie, o ile wynik pomiaru może różnić się od wartości rzeczywistej.

W praktyce zawsze istnieje niewielki błąd pomiaru, wynikający z ograniczeń przyrządów lub warunków eksperymentu.

—

2. Rodzaje niepewności

a) Niepewność typu A

* Wynika z serii pomiarów tej samej wielkości.

* Oblicza się ją jako odchylenie standardowe wyników:

$$u_A = \sqrt{\frac{\sum (x_i – \bar{x})^2}{n(n-1)}}$$

gdzie:

* $x_i$ — kolejny wynik pomiaru,

* $\bar{x}$ — średnia z pomiarów,

* $n$ — liczba pomiarów.

—

b) Niepewność typu B

* Wynika z informacji z instrukcji przyrządu lub doświadczenia, np. producent podaje dokładność pomiaru.

* Szacowana jako:

$$u_B = \frac{\text{zakres niepewności}}{\sqrt{3}}$$

—

3. Niepewność wielkości złożonej

Dla wielkości złożonej, np. prędkości $v = \frac{s}{t}$ lub oporu $R = \frac{U}{I}$, niepewność szacuje się metodą propagacji błędów:

a) Prędkość:

$$u(v) = v \cdot \sqrt{\left(\frac{u(s)}{s}\right)^2 + \left(\frac{u(t)}{t}\right)^2}$$

b) Opór:

$$u(R) = R \cdot \sqrt{\left(\frac{u(U)}{U}\right)^2 + \left(\frac{u(I)}{I}\right)^2}$$

gdzie:

* $u(s)$, $u(t)$, $u(U)$, $u(I)$ — niepewności pomiarów poszczególnych wielkości.

—

4. Zasady praktyczne

Zawsze podawaj wynik pomiaru z niepewnością:

$$x = \bar{x} \pm u$$

Niepewność sumuje się według reguł propagacji przy działaniach matematycznych.
Dzięki temu wyniki pomiarów są rzetelne i porównywalne.

—

5. Podsumowanie

* Nie ma pomiaru idealnego — zawsze występuje niepewność.

* Znajomość niepewności pozwala ocenić dokładność wyników.

* Dla wielkości złożonych stosuje się wzory propagacji błędów.

Zadania – Lekcja 11: Niepewność pomiarowa

1. Pomierzono długość stołu pięciokrotnie, otrzymując wyniki (w cm): 120,2; 120,4; 120,3; 120,5; 120,3. Oblicz niepewność typu A.

2. Linijka ma dokładność podaną przez producenta ±0,5 mm. Oblicz niepewność typu B.

3. Zmierzono odległość $s = 2,00 \pm 0,02$ m i czas $t = 4,00 \pm 0,05$ s. Oblicz prędkość $v$ i jej niepewność.

4. Zmierzono napięcie $U = 12,0 \pm 0,1$ V i prąd $I = 2,0 \pm 0,05$ A. Oblicz opór $R$ i jego niepewność.

5. (TAK/NIE) Jeśli niepewność typu A wynosi 0,01 m, a typu B 0,02 m, to całkowita niepewność wynosi $0,03$ m (sumowanie proste).

6. (TAK/NIE) Podawanie wyniku pomiaru bez niepewności jest poprawne i wystarczające w nauce.

—

Klucz odpowiedzi

Średnia: $\bar{x} = (120,2+120,4+120,3+120,5+120,3)/5 = 120,34$ cm

Niepewność typu A:

$$u_A = \sqrt{\frac{(120,2-120,34)^2 + \dots + (120,3-120,34)^2}{5(5-1)}} \approx 0,05~\text{cm}$$

$u_B = 0,5 / \sqrt{3} \approx 0,29~\text{mm}$
$v = s/t = 2,00/4,00 = 0,50~\text{m/s}$

Niepewność:

$$u(v) = 0,50 \cdot \sqrt{(0,02/2,00)^2 + (0,05/4,00)^2} \approx 0,013~\text{m/s}$$

$R = U/I = 12,0/2,0 = 6,0~\Omega$