Lekcja 9 — Równanie soczewki / zwierciadła i powiększenie

1. Równanie soczewki cienkiej

Równanie soczewki pozwala obliczyć odległość obrazu $y$ od soczewki, jeśli znamy odległość przedmiotu $x$ i ogniskową $f$:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$

gdzie:

* $f$ — ogniskowa soczewki (dla soczewki skupiającej $f > 0$, dla rozpraszającej $f < 0$),

* $x$ — odległość przedmiotu od soczewki,

* $y$ — odległość obrazu od soczewki.

—

2. Równanie zwierciadła sferycznego

Równanie zwierciadła (wklęsłego lub wypukłego) ma podobną postać:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$

gdzie $f$ to ogniskowa zwierciadła, a znaki przy $x$, $y$, $f$ ustala się zgodnie z konwencją znaków dla zwierciadeł (wklęsłe dodatnie, wypukłe ujemne).

—

3. Powiększenie obrazu

Powiększenie obrazu $P$ określa, jak bardzo obraz jest większy lub mniejszy od przedmiotu:

$$P = \frac{h_y}{h_x} = – \frac{y}{x}$$

gdzie:

* $h_y$ — wysokość obrazu,

* $h_x$ — wysokość przedmiotu,

* $x$ — odległość przedmiotu od soczewki/zwierciadła,

* $y$ — odległość obrazu od soczewki/zwierciadła.

Uwagi

* Jeśli $P > 0$ → obraz prosty,

* Jeśli $P < 0$ → obraz odwrócony,

* $|P| > 1$ → obraz powiększony,

* $|P| < 1$ → obraz pomniejszony.

—

4. Przykłady zastosowania

* Obliczenie położenia obrazu w lupie lub mikroskopie.

* Wyznaczanie powiększenia w teleskopach i aparatów fotograficznych.

* Analiza obrazu w zwierciadle wklęsłym (np. w reflektorach).

—

5. Podsumowanie

* Równanie soczewki i zwierciadła pozwala precyzyjnie wyznaczyć obraz.

* Powiększenie $P$ określa wielkość i orientację obrazu.

* Zastosowanie: optyka w życiu codziennym i technice.

Zadania – Lekcja 9: Równanie soczewki / zwierciadła i powiększenie

1. Soczewka skupiająca ma ogniskową $f = 0{,}2\,\text{m}$. Przedmiot znajduje się w odległości $x = 0{,}3\,\text{m}$. Oblicz odległość obrazu $y$.

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$$

2. Dla soczewki z zadania 1 oblicz powiększenie obrazu $P$ przy wysokości przedmiotu $h_x = 5\,\text{cm}$.

3. Zwierciadło wklęsłe ma ogniskową $f = 0{,}15\,\text{m}$. Przedmiot jest w odległości $x = 0{,}1\,\text{m}$. Oblicz odległość obrazu $y$ i powiedz, czy obraz jest rzeczywisty czy pozorny.

4. Oblicz powiększenie obrazu z zadania 3, jeśli przedmiot ma wysokość $h_x = 4\,\text{cm}$.

5. (TAK/NIE) Jeśli powiększenie $P < 0$, obraz jest odwrócony.

6. (TAK/NIE) Jeśli $|P| > 1$, obraz jest powiększony względem przedmiotu.

7. Przedmiot znajduje się w odległości $x = f/2$ od soczewki skupiającej o ogniskowej $f = 0{,}2\,\text{m}$. Oblicz przybliżoną odległość obrazu $y$ i powiększenie $P$.

—

Klucz odpowiedzi

• $\frac{1}{y} = \frac{1}{f} – \frac{1}{x} = 5 – 3{,}33 = 1{,}67 \Rightarrow y \approx 0{,}6\,\text{m}$
• $P = -y/x = -0{,}6/0{,}3 = -2 \Rightarrow$ obraz odwrócony, powiększony 2 razy, $h_y = |P| \cdot h_x = 10\,\text{cm}$
• $\frac{1}{y} = 1/f – 1/x = 6{,}67 – 10 = -3{,}33 \Rightarrow y \approx -0{,}3\,\text{m}$, obraz pozorny
• $P = -y/x = -(-0{,}3)/0{,}1 = 3 \Rightarrow$ obraz prosty, powiększony 3 razy, $h_y = 12\,\text{cm}$
• TAK
• TAK
• $x = 0{,}1\,\text{m}, f = 0{,}2\,\text{m} \Rightarrow 1/y = 1/f – 1/x = 5 – 10 = -5 \Rightarrow y \approx -0{,}2\,\text{m}$, $P = -y/x = -(-0{,}2/0{,}1) = 2$, obraz prosty, powiększony 2 razy